Studiewijzer 2017/2018

Globale inhoud

In dit vak worden de grondbeginselen van de topologie behandeld. Diverse begrippen die een rol spelen in de analyse komen in dit vak terug in geabstraheerde vorm. We leggen in dit vak een fundament voor de verdere studie van de meetkunde, de algebraïsche topologie en de differentiaaltopologie. Onderwerpen die aan bod komen zijn topologische ruimten, continue afbeeldingen en homeomorfismen, samenhangendheid, compactheid, en quotientruimten. De fundamentaalgroep zal uitgebreid aan bod komen. We ontwikkelen methoden om de fundamentaalgroep expliciet te berekenen en bespreken een aantal toepassingen, zoals de fixpuntstelling van Brouwer.

Studiemateriaal

Literatuur

J.R. Munkres, 'Topology', Prentice Hall Inc., 2nd edition, 2000, ISBN 0-13-181629-2.

Leerdoelen

Aan het eind van het vak kan de student

de definities van topologische ruimte en continue afbeeldingen formuleren en toepassen in eenvoudige situaties.
de definities van compactheid en (weg)samenhang in willekeurige topologische ruimten formuleren en nagaan of een bepaalde topologische ruimte al dan niet die eigenschappen heeft.
de quotientopologie van een equivalentierelatie kunnen uitwerken en bepalen wanneer een bepaalde topologie een quotienttopologie is.
het idee van homotopie uitleggen en de definite van fundamentaalgroep duiden.
het verband tussen overdekkingsruimten en de fundamentaalgroep geven en toepassen.
het idee van een retractie uitleggen, het verband met dekpunten en de dekpuntsstelling van Brouwer geven.
de stelling van Van Kampen moeten formuleren, bewijzen en toepassen op eenvoudige voorbeelden afkomstig van quotienttopologien.

Onderwijsvormen

Hoorcollege
Werkcollege
Zelfstudie

Verdeling leeractiviteiten

Activiteit	Aantal uur
Hoorcollege	30
Tentamen	3
Tussentoets	3
Werkcollege	28
Zelfstudie	104

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor hij/zij staat ingeschreven.
Als een student door overmacht niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het onderdeel, dient hij/zij dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent. De docent kan dan, eventueel na overleg met de studieadviseur, besluiten om de student een vervangende opdracht op te leggen.
Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van overmacht.
Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan.
Bij alle onderwijseenheden van jaar 1 en 2 is een student verplicht bij minimaal 80% van de werkcolleges en tutoraten aanwezig te zijn. Bovendien moet worden deelgenomen aan eventuele tussentoetsen en verplicht gesteld huiswerk. Als niet aan deze verplichting is voldaan, wordt de student uitgesloten voor de herkansing van de onderwijseenheid.

Aanvullende eisen voor dit vak:

Aanwezigheid bij de werkcolleges is verplicht. Als je niet bij minstens 80% van de werkcolleges aanwezig bent geweest dan vervalt je recht op het hertentamen, zoals vermeldt in het OER-B artikel 4.9 lid 2.

Toetsing

Onderdeel en weging	Details
Eindcijfer
30% Tussentoets
50% Tentamen
20% Huiswerk

De tussentoets behandelt differentiaaltopologie.

Het Eindtentamen behandelt zowel differentiaaltopologie als algebraische topologie.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: www.uva.nl/plagiaat

Weekplanning

Hier is een tentatief overzicht van de cursus met de bijbehorende paragrafen uit Munkres die behandeld zullen worden.

Week 1: Topologische ruimten, voorbeelden van topologische ruimten, basis voor een topologie (paragrafen 12 en 13).
Week 2: Product topologie, deelruimte topologie, inwendige en afsluiting (paragrafen 15,16 17).
Week 3: Definitie van metrische ruimten/topologie (paragraaf 20); Hausdorff ruimten, continue functies (paragrafen 17 en 18).
Week 4: (Weg)samenhangende ruimten (paragrafen 23, 24). Definitie van lokale samenhang.
Week 5: Lokale (weg)samenhang, compactheid (paragraaf 25,26,27).
Week 6 Tychonoff stelling voor eindige producten (Thm. 26.7), Tube lemma (Lemma 26,8),
Lebesgue getal-lemma, quotiënttopologie (Lemma 27.5 en paragraaf 22).
Week 7: quotiënttopologie (rest van paragraaf 22).

Week 8: Tussentoets

Week 9: homotopie van continue afbeeldingen en van paden (paragraaf 51).
Week 10: De fundamentaalgroep en overdekkingsruimten (paragrafen 52 en 53).
Week 11: De fundamentaalgroep van de cirkel (paragraaf 54).
Week 12: Brouwer's fixpunt stelling ( paragraaf 55 t/m Stelling 55.6) en de fundamentele stelling van Algebra (paragraaf 56) .
Week 13: Deformatie retracties en homotopie equivalenties (paragraaf 58).
Week 14: De fundamentaalgroep van de sfeer ( paragraaf 59) en het vrije product van groepen (paragraaf 68)
Week 15: Externe vrije groepen (rest van paragraaf 68) en formulering stelling van Seifert en van Kampen (paragraaf 70).
Week 16: Toepassingen van stelling van Seifert en van Kampen (gevolgen 70.3 en 70.4, stelling 73.1).

Rooster

Het rooster van dit vak is in te zien op DataNose.

Honoursinformatie

Bij het vak Topologie bestaat er een honoursuitbreiding ter waarde van 3 EC.
In de Honours-uitbreiding zullen de studenten de klassificatie van oppervlakken zelf doornemen.

Contactinformatie

Coördinator

dr. R.R.J. Bocklandt

Docenten

Jan van Mill geeft het eerste deel over differentiaaltopologie (H2,H3 in Munkres)
Raf Bocklandt geeft het tweede deel over algebraische topologie (H9,H11 in Munkres)

Eigenaar	Bachelor Wiskunde
Coördinator	dr. R.R.J. Bocklandt
Onderdeel van	Bachelor Wiskunde, jaar 2 Dubbele bachelor Wis- en Natuurkunde, jaar 2 Dubbele bachelor Wiskunde en Informatica, jaar 2 Bachelor Bèta-gamma, major Wiskunde, jaar 3