Stochastiek 1

Stochastics 1

Eigenaar	Bachelor Wiskunde
Coördinator	dr. S.G. Cox
Onderdeel van	Bachelor Wiskunde, jaar 1Dubbele bachelor Wis- en Natuurkunde, jaar 1Dubbele bachelor Wiskunde en Informatica, jaar 1Bachelor Bèta-gamma, major Wiskunde, jaar 2

Studiewijzer 2017/2018

Globale inhoud

Het doel is een eerste kennismaking met kansrekenen. Hierbij wordt stilgestaan bij de formele definitie van een stochast en derhalve ook van een kansruimte. Echter, er wordt vooral aandacht besteed aan (bivariate) discrete en continue stochasten. In het bijzonder worden de begrippen verdelingsfunctie, kansdichtheidsfunctie, (voorwaardelijke) verwachting, variantie, covariantie, en onafhankelijkheid ingevoerd en uitgelegd hoe hiermee te werken. We sluiten het college af met enkele standaard stellingen uit de kansrekening, zoals Markov- en Jensen's ongelijkheid, de sterke wet van grote aantallen en de centrale limietstelling.

Studiemateriaal

Literatuur

• Grimmett and Welsh, 'Probability - an introduction'.

Overig

• De opnames van de colleges van vorig jaar zijn hier te vinden:

  http://webcolleges.uva.nl/Mediasite/Catalog/Full/18b5028d620c4c27bf5b3019b5d292b721

Leerdoelen

Ruwweg komen de volgende zes onderwerpen aan de orde in dit vak:

1. Combinatoriek

2. Formeel wiskundig kader voor kansrekening

3. Discrete stochasten: theorie en vaardigheden

4. Continue stochasten: theorie en vaardigheden

5. Nuttig gereedschap voor een kansrekenaar

6. Limieten en limietstellingen

 

Voor elk van deze zes wordt hieronder beschreven wat de leerdoelen zijn.

 

1. Combinatoriek (College 1 & 2)

Aan het eind van het vak kent de student(e) de definitie van de faculteit en de binomiaalcoëfficiënten, alsmede de combinatorische interpretaties van deze formules. Tevens is de student bekend met het bewijs van het binomium van Newton.

De student(e) kan deze kennis toepassen voor het bepalen van de kans op een bepaalde gebeurtenis bij de relevante discrete kansmodellen. (Voorbeeld: "Aannemende dat er 365 dagen per jaar zijn en de kans om op een bepaalde dag geboren te worden voor elke dag even groot is, wat is dande kans dat drie willekeurig gekozen studenten op drie verschillende dagen jarig zijn?")

 

2. Formeel wiskundig kader voor de kansrekening (College 3 & 4)

Aan het eind van het vak kent de student(e) de definities van een maatruimte (sigma-algebra, maat), van een voorwaardelijke kans, van onafhankelijke gebeurtenissen, van een (multivariate) stochast, van een verdelingsfunctie, en van onafhankelijke gebeurtenissen en stochasten.

Tevens kent de student(e) de eigenschappen van een verdelingsfunctie (monotoon stijgend, rechtscontinu, etc.). Ook kan zij/hij een formeel kanstheoretisch model maken (bijvoorbeeld: "Geef expliciet een maatruimte en een stochast op die maatruimte die model staat voor het aantal keren dat er kop gegooid wordt als je tien keer een munt opgooit.")

Het is niet noodzakelijk dat de student(e) precies begrijpt waarom dit abstracte kader in de kansrekening wordt gebruikt, belangrijk is dat hij/zij de concepten alvast een keer gezien heeft.

 

3. Discrete stochasten (College 5,6,7)

Aan het einde van het vak kent de student(e) de definitie van een (multivariate) discrete stochast en van de verwachting en variantie van een discrete stochast. Tevens weet de student(e) hoe hij/zij deze moet bepalen, gegeven de verdelingsfunctie van de stochast.

Ook kent de student(e) de volgende discrete kansverdelingen: Bernoulli, Binomiaal, Poisson, en Geometrisch. Tevens is hij/zij bekend met de interpretaties voor deze verdelingen in toepassingen.

Daarnaast is de student(e) zich bewust dat men voor een discrete stochast als uitkomstenruimte altijd een aftelbare verzameling kan nemen, en voor de sigma-algebra de machtsverzameling van de uitkomstenruimte.

Tevens is zij/hij zich ervan bewust dat een functie van een (multivariate) discrete stochast weer een (multivariate) discrete stochast is, en kent hij/zij de formule waarmee de verwachting van een functie van een discrete stochast kan worden bepaald.

Ook kan de student(e) voorwaardelijke verwachtingen van discrete stochasten bepalen, en dit toepassen in combinatie met de partitie stelling.

 

4. Continue stochasten (College 8,9,10)

Aan het einde van het vak kent de student(e) de definitie van een (multivariate) continue stochast en van de verwachting en variantie van een continue stochast. Tevens weet de student(e) hoe hij/zij deze moet bepalen, gegeven de kansverdeling van de stochast.

Ook kent de student(e) de volgende continue kansverdelingen: Normaal, Exponentieel, Uniform. Tevens is hij/zij bekend met de interpretaties voor deze verdelingen in toepassingen.

Daarnaast is de student(e) zich bewust dat de uitkomstenruimte voor een continue stochast overaftelbaar is, en dat het in het algemeen niet mogelijk is om een maat te definieren op de machtsverzameling van de uitkomstenruimte (de student heeft een eerste kennismaking gehad met het Banach-Tarski paradox, maar zonder bewijs of uitgebreide uitleg).

Tevens kent de student de formule waarmee de verwachting van een functie van een continue stochast kan worden bepaald (mits dit een goed-gedefinieerde Riemann integraal oplevert).

Daarnaast kan de student, gegeven een continue stochast X en een functie g, de verdelingsfunctie van g(X) bepalen en aan de hand daarvan (in speciale gevallen) nagaan of g(X) wederom een continue stochast is.

Voor een bivariate continue stochast kent de student(e) de definities van de simultane kansdichtheidsfunctie, de marginale kansdichtheidsfunctie, de voorwaardelijke kansdichtheidsfuncties, en kent hij/zij de interpretatie van deze functies. Ook kan zij/hij de marginale en voorwaardelijke kansdichtheidsfuncties bepalen aan de hand van de simultane kansdichtheidsfuntie, en verwachtingen van functies van bivariate continue stochasten bepalen.

NB: de multidimensionale normale verdeling wordt niet behandeld! (M.u.v.\ het `triviale' geval van onafhankelijke normaal verdeelde stochasten.)

5. Nuttig gereedschap voor een kansrekenaar (College 3,4,11,12)

Aan het einde van het vak kent de student(e) de volgende formules en kan deze toepassen:

- De formule van Bayes (college 3/4).

- Het concept van onafhankelijke gebeurtenissen en onafhankelijke stochasten.

- De inclusie-exclusie formule voor niet-disjuncte gebeurtenissen (college 3/4).

- De Cauchy-Schwarz vergelijking voor stochasten (college 11/12)

- Markov en Chebychev's ongelijkheid (college 11/12)

- Jensen's ongelijkheid (college 11/12)

Tevens is de student(e) bekend met de definite van de momentgenererende functie, weet hij/zij deze te bepalen a.d.h.v. de kansverdeling, en weet zij/hij hoe deze te gebruiken is om momenten van een stochast te bepalen.

Ook is de student(e) bekend met de concepten covariantie en correlatie, en kan hij/zij deze bepalen gegeven een simultane verdelingsfunctie.

 

6. Limieten en limietstellingen (College 13,14)

De student kent de definitie van convergentie in kans, in L2, en van zwakke convergentie. Ook weet zij/hij dat convergentie in L2 convergentie in kans impliceert en is hij/zij bekend met het bewijs hiervoor.

Tevens kent de student(e) de L2-wet van grote aantallen (inclusief bewijs), en de Centrale Limietstelling (zonder bewijs). Zij/hij kan deze stellingen toepassen om een schatting te maken voor de kans dat het gemiddelde van een groot aantal onafhankelijke stochasten zich in een bepaald interval bevindt (eerste kennismaking met betrouwbaarheidsintervallen).

Onderwijsvormen

• Hoorcollege
• Werkcollege

Hoorcollege:

Hier worden de concepten ingevoerd en wordt voorgedaan hoe bepaalde berekeningen gedaan moeten worden. Ook wordt getracht de theorie te koppelen aan kanstheoretische modellen die men in de praktijk tegenkomt ("Wat is de kans dat in een groep van 60 studenten twee mensen op dezelfde dag jarig zijn?" "Als ik een gloeilamp heb die werkt, hoe lang verwacht ik dat deze het blijft doen?" "Wat is ruwweg de kans dat als ik 100 keer een dobbelsteen gooi, het gemiddelde aantal ogen kleiner dan 3 is?" )

Werkcollege:

Tijdens het werkcollege maken de studenten, onder begeleiding van een werkcollegedocent, opgaven waarmee zij kunnen toetsen of zij de stof begrepen hebben en doorhebben hoe de in het hoorcollege gepresenteerde theorie kan worden toegepast. De opgaven komen uit het boek of zijn door de docent op blackboard gezet en zijn van wisselende moeilijkheidsgraad.

Ook kan er tijdens het werkcollege gewerkt worden aan de inleveropgaven.

Als blijkt dat veel studenten dezelfde fouten hebben gemaakt in de inleveropgaven, dan wordt dit in het werkcollege besproken door de werkcollegedocent.

Verdeling leeractiviteiten

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

• Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor hij/zij staat ingeschreven.
• Als een student door overmacht niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het onderdeel, dient hij/zij dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent. De docent kan dan, eventueel na overleg met de studieadviseur, besluiten om de student een vervangende opdracht op te leggen.
• Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van overmacht.
• Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan.
• Bij alle onderwijseenheden van jaar 1 en 2 is een student verplicht bij minimaal 80% van de werkcolleges en tutoraten aanwezig te zijn. Bovendien moet worden deelgenomen aan eventuele tussentoetsen en verplicht gesteld huiswerk. Als niet aan deze verplichting is voldaan, wordt de student uitgesloten voor de herkansing van de onderwijseenheid.

Aanvullende eisen voor dit vak:

Aanwezigheid bij de werkcolleges is verplicht. Als je niet bij minstens 80% van de werkcolleges aanwezig bent geweest dan vervalt je recht op het hertentamen, zoals vermeldt in het OER-B artikel 4.9 lid 2.

Toetsing

Onderdeel en weging	Details	Opmerkingen
Eindcijfer
0.32 (32%) Tussentoets	Moet ≥ 5 zijn	minimum score is gewogen gemiddelde tussentoets en tentamen
0.48 (48%) Tentamen	Moet ≥ 5 zijn	minimum score = gewogen gemiddelde tussentoets en tentamen
0.2 (20%) Huiswerk

Indien het toetscijfer 5 of hoger is, geldt: eindcijfer = 0.8 * toetscijfer + 0.2 * huiswerkcijfer. Hierbij geldt toetscijfer = 0.4 * tussentoetscijfer + 0.6 * tentamencijfer. Indien het toetscijfer kleiner dan 5 is, dan is het eindcijfer het toetscijfer.

Het hertentamencijfer wordt niet beinvloedt door het tussentoetscijfer, het tentamencijfer, of het huiswerkcijfer.

De stof voor de tussentoets wordt bijtijds op Blackboard geplaats. Ruwweg kunnen op de tussentoets de leerdoelen van de onderwerpen Combinatoriek, Formeel wiskundig kader voor de kansrekening, en Discrete stochasten getoetst worden, alsmede de formule van Bayes en de inclusie-exclusie formule voor niet-disjuncte gebeurtenissen (zie ook de leerdoelen).

Op het tentamen en het hertentamen kunnen in principe alle leerdoelen getoetst worden, al zal bij het tentamen de nadruk meer liggen op de leerdoelen die bij de tussentoets niet aan de orde zijn gekomen.

Het is toegestaan voor het tentamen en het hertentamen een twee-zijdig, handgeschreven A4 blaadje mee te nemen met aantekeningen. Bij de tussentoets is dit niet toegestaan. Een niet-programmeerbare rekenmachine is ook toegestaan (maar niet noodzakelijk), alsmede papier, pennen, potloden, gummen, tipex e.d., en puntenslijpers. Verder zijn geen hulpmiddelen toegestaan.

Inzage toetsing

Om een inzagemoment aan te vragen, kun je contact opnemen met de coördinator.

Op het eerste college in januari wordt de tussentoets besproken en kan men inzage krijgen in de toets. Het huiswerk wordt wekelijks nagekeken en teruggegeven.

Opdrachten

De wekelijkse inleveropgaven kunnen in het schema hieronder worden gevonden.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: www.uva.nl/plagiaat

Weekplanning

Rooster

Het rooster van dit vak is in te zien op DataNose.

Honoursinformatie

Op dit vak is geen honoursuitbreiding mogelijk.

Aanvullende informatie

Aanbevolen voorkennis: Basiswiskunde en Analyse op de lijn.

Contactinformatie

Coördinator

• dr. S.G. Cox