Representation Theory

Studiewijzer 2017/2018

Globale inhoud

The main topic of this course is the study of representations of finite groups. A representation of a group is a realization of the group by means of linear transformations. A good example is given by the dihedral group acting as symmetries of a regular polygon. Representations are important in many areas of mathematics, such as analysis, geometry and mathematical physics. Central questions in this field are: what are the "fundamental" representations -called "irreducible- of a group that can occur, and how can one decompose an arbitrary representation into irreducibles? 

In this course, the following topics will be covered:

• Representations of algebras and groups
• Sub-representations, irreducible representations, Schur's lemma, semisimple representations/algebras
• Tensor product of representations, 
• Maschke's Theorem,
• Characters, class functions, character table of group representations,
• Orthogonality relations of matrix coefficients and characters of group representations,
• Representations of abelian groups and product groups,
• Induced representations and Frobenius reciprocity,
• Mackey's irreducibility criterium,
• Representation theory of the symmetric group,
• Random walks on abelian groups.

Studiemateriaal

Literatuur

• B. Steinberg, "Representation Theory of Finite Groups. An introductory approach", Universitext. Springer, New York, 2012. ISBN: 978-1-4614-0775-1.

Overig

• Two supplements to the book (for week 40 and week 44), downloadable from the blackboard page of the course. 

Leerdoelen

At the end of the course, the student is able to:

• work with the character table of a finite group, and construct the irreducible characters in elementary situations. 
• use orthogonality relations to decompose a complex character into a sum of irreducible characters. 
• use the Fourier transform in the context of arbitrary finite groups.
• construct representations using induction, restriction and techniques from (multi-)linear algebra. 
• classify the irreducible representations of the symmetric group using Young tableaux.
• apply results of the theory of complex representations to random walks on finite groups. 

Onderwijsvormen

• Hoorcollege
• Werkcollege

Lecture: the material is presented during the lecture to prepare the student for the theory in the book by means of self-study.

Exercise classes: The student applies the theory in the book in concrete problems by solving exercises. 

Verdeling leeractiviteiten

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

• Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor hij/zij staat ingeschreven.
• Als een student door overmacht niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het onderdeel, dient hij/zij dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent. De docent kan dan, eventueel na overleg met de studieadviseur, besluiten om de student een vervangende opdracht op te leggen.
• Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van overmacht.
• Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan.
• Bij alle onderwijseenheden van jaar 1 en 2 is een student verplicht bij minimaal 80% van de werkcolleges en tutoraten aanwezig te zijn. Bovendien moet worden deelgenomen aan eventuele tussentoetsen en verplicht gesteld huiswerk. Als niet aan deze verplichting is voldaan, wordt de student uitgesloten voor de herkansing van de onderwijseenheid.

Toetsing

Evaluation 

Evaluation for this course consists of a final exam, a midterm exam and regular exercises (homework). 

If the weighted average of the grades for the final exam and the midterm exam is above 5.5, the final grade is determined by the final exam (50%), the midterm exam (30%) and the homework (20%). (Important: the midterm exam and homework can have a negative effect on the final grade!) If the weighted average of the final exam and the midterm exam is below 5.5, the student does not pass.

There is no retake for the  midterm exam and the homework. In case of a retake, the final grade is simply the grade for the retake exam.

Inzage toetsing

De datum, het tijdstip en de locatie van het inzagemoment staan in het rooster in DataNose.

Opdrachten

Homework exercises

• Regular homework, to be worked out independently by the students; the exercises are graded by the instructors of the exercise classes.

   

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: www.uva.nl/plagiaat

Weekplanning

Rooster

Het rooster van dit vak is in te zien op DataNose.

Honoursinformatie

There is no honours extension for this course

Aanvullende informatie

Prerequisites: Linear algebra, Algebra 1 and 2.

Contactinformatie

Coördinator

• dr. H.B. Posthuma