Inleiding numerieke wiskunde

Introduction to Numerical Mathematics

Studiewijzer 2017/2018

Globale inhoud

Het berekenen van de eigenwaarden van een 5x5 matrix en het integreren van een functie waarvan geen primitieve bekend is, zijn eenvoudige voorbeelden van problemen uit de Lineaire Algebra en de Analyse waarvoor het doorgaans onmogelijk is om een exacte getalsmatige oplossing te berekenen.

Het vakgebied van de Numerieke Wiskunde ontwikkelt voor dergelijke problemen convergente rijen van concreet berekenbare getallen die convergeren naar de oplossing, bewijst stellingen over de convergentiesnelheid van die rijen en geef bovengrenzen voor de fout van de berekende getallen in relatie tot de exacte oplossing.

In dit inleidende vak bekijken we in de eerste week een probleem uit het deelgebied van de Numerieke Analyse, namelijk, het benaderen van nulpunten en dekpunten van niet-lineaire functies in een of meerdere variabelen, middels algemene dekpuntiteraties en in het bijzonder middels de methode van Newton. De nadruk ligt op de relatie tussen de mate van gladheid die van die niet-lineaire functie en de effectiviteit van de methode.

In de tweede week wordt uit het deelgebied der Numerieke Lineaire Algebra gekeken naar het benaderend berekenen van de singulierewaardedecompositie (SVD) van een matrix. De SVD, die toepassingen heeft binnen de beeldcompressie, wordt gedefinieerd, gerelateerd aan eigenwaardedecomposities, en vervolgens wordt een iteratief proces gegeven dat convergeert naar de exacte SVD

Tot slot wordt stilgestaan bij het simpele maar cruciale feit dat een computer noodzakelijkerwijs slechts met een eindige
deelverzameling van de complexe getallen rekent, en dat dus nooit exact kan doen. We geven de basisbeginselen van Floating Point Arithmetic en introduceren het begrip terugwaartse stabiliteit van een algoritme.

Zonder programmeerkennis te vereisen zal een en ander worden geillustreerd door middel van demonstraties in de programmeeromgeving MatLab.

Aan het einde van het vak zal een kaleidoscopisch minisymposium inzicht verschaffen in andere problemen uit de Numerieke Analyse en Numerieke Lineaire Algebra, zodoende mede vooruitblikkend naar de gelijknamige twee vervolgvakken.

Studiemateriaal

Syllabus

• Gratis download vanaf de webpage van de docent.

Software

• Matlab

Leerdoelen

Aan het eind van het vak kan/weet de student

• nulpunten en dekpunten van afbeeldingen benaderen middels dekpuntiteraties waaronder de Newton methode;
• wat Lipschitz-continuiteit is en wat contracties zijn;
• wat de singulierewaardedecompositie is en hoe deze functioneert binnen de datacompressie;
• de singulierewaardendecompositie uitrekenen voor kleine matrices;
• een matrix bidiagonaliseren middels unitaire transformaties (het Golub-Kahan algoritme); 
• wat dyadische getallen zijn en hoe hiermee Floating Point Arithmetic kan worden gemodelleerd;
• een keuze maken de vervolgvakken Numerieke Analyse en Numerieke Lineaire Algebra te volgen;
• wat de basismogelijkheden van Matlab zijn, het pakket opstarten en ermee experimenteren.

Onderwijsvormen

• Hoorcollege
• Werkcollege
• Laptopcollege
• Zelfstudie
• Presentatie/symposium

Het hoorcollege en werkcollege staan centraal en worden op klassieke wijze ingezet. In beperkte mate kunnen studenten op hun laptop de werking van enkele algoritmes bekijken. Het symposium aan het eind van het vak bestaat voor de studenten slechts uit passieve deelname (het tentamen valt in dezelfde week dus toetsbare nieuwe stof kan niet worden aangeboden).

Verdeling leeractiviteiten

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

• Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor hij/zij staat ingeschreven.
• Als een student door overmacht niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het onderdeel, dient hij/zij dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent. De docent kan dan, eventueel na overleg met de studieadviseur, besluiten om de student een vervangende opdracht op te leggen.
• Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van overmacht.
• Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan.
• Bij alle onderwijseenheden van jaar 1 en 2 is een student verplicht bij minimaal 80% van de werkcolleges en tutoraten aanwezig te zijn. Bovendien moet worden deelgenomen aan eventuele tussentoetsen en verplicht gesteld huiswerk. Als niet aan deze verplichting is voldaan, wordt de student uitgesloten voor de herkansing van de onderwijseenheid.

Aanvullende eisen voor dit vak:

Aanwezigheid bij de werkcolleges is verplicht. Als je niet bij minstens 80% van de werkcolleges aanwezig bent geweest dan vervalt je recht op het hertentamen, zoals vermeldt in het OER-B artikel 4.9 lid 2.

Toetsing

Gezien de beperkte lengte van het vak (effectief drie weken) zal de toetsing bestaan uit alleen een individueel schriftelijk tentamen ter afsluiting van de cursus. Hiervoor dient ten minste 55 van de 100 punten gescoord te worden. Het hertentamen is van hetzelfde niveau en van dezelfde vorm als het tentamen. 

Inzage toetsing

Om een inzagemoment aan te vragen, kun je contact opnemen met je begeleider.

Inzage van het tentamen gaat na afspraak met de werkgroepleider van de student, en uiterlijk tot de dag voor het hertentamen.

Opdrachten

In week X van de cursus worden op het werkcollege/laptopcollege de opdrachten gemaakt horende bij Hoofdstuk X van de Lecture Notes Inleiding Numerieke Wiskunde van Dr. J.H. Brandts.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: www.uva.nl/plagiaat

Weekplanning

Rooster

Het rooster van dit vak is in te zien op DataNose.

Honoursinformatie

Op dit vak is geen honoursuitbreiding mogelijk.

Aanvullende informatie

Het vak wordt ondersteund vanaf de webpage van de docent op http://www.janbrandts.nl

Aanbevolen voorkennis: Analyse 1, Lineaire Algebra, Lineaire Algebra 2.

Contactinformatie

Coördinator

• dr. Jan Brandts

Voor vragen neem je in eerste instantie contact op met je werkgroepleider. Deze zal indien nodig informatie inwinnen bij de docent.

Docenten