Algebra 2: ringen en lichamen

Algebra 2: rings and fields

Studiewijzer 2025/2026

Globale inhoud

In het vak Algebra 2 bestuderen we algebraïsche structuren zoals ringen en lichamen. Een ring is een verzameling uitgerust met twee binaire operaties die gezien kunnen worden als generalisatie van de optelling en vermenigvuldiging van (gehele) getallen. Het is mogelijk vele getaltheoretische begrippen en eigenschappen te generaliseren in de context van ringen. Alhoewel de opzet van de theorie zuiver algebraïsch is, komen belangrijke voorbeelden van ringen ook uit andere takken van de wiskunde, bijvoorbeeld de analyse of meetkunde. In dit college behandelen we de abstracte theorie van ringen en lichamen, en laten we zien hoe belangrijk deze theorie is in concrete problemen. In het bijzonder behandelen we de volgende onderwerpen:

• Definitie van ringen en lichamen
• Deelringen, idealen en de isomorfiestellingen
• Polynoomringen en nulpunten van polynomen
• Maximale en Priem-idealen
• Delingen in ringen
• Lichaamsuitbreidingen
• Eindige lichamen

Studiemateriaal

Syllabus

• 'Ringen en Lichamen' van H.W. Lenstra en F. Oort.

Leerdoelen

• Ringen: de student kent definities, voorbeelden en basiseigenschappen van de volgende concepten: ring, deelring, delingsring, nuldeler, eenheid, idempotent, quotiëntenlichaam, ringmorfisme, ideaal, maximaal en priemideaal, factorring, domein, ontbindingsring, hoofdideaaldomein.
• Lichamen: de student kent definities, voorbeelden en basiseigenschappen van de volgende concepten: lichaam, priemlichaam, karakteristiek, lichaamsuitbreiding, graad van een lichaamsuitbreiding, minimaalpolynoom, ontbindingslichaam, eindig lichaam.
• Stellingen: Studenten kunnen de volgende belangrijke stellingen formuleren en toepassen: de Chinese reststelling voor ringen, de isomorfiestellingen voor ringen, het kenmerk van Eisenstein, de classificatie van eindige lichamen.
• Rekenen: Studenten kunnen rekenen in specifieke ringen zoals de polynomenring, de ring van gaussische gehelen en eindige lichamen en met ringmorfismen daartussen. Ze kunnen technieken toepassen om polynomen te ontbinden in irreducibelen.
• Algebra vs Meetkunde: Studenten zien het belang van ringen in zowel de getaltheorie als de meetkunde en hoe sommige algebraïsche concepten zoals maximaal ideaal en ontbindingsring meetkundige interpretaties kunnen hebben.

Onderwijsvormen

• Hoorcollege
• Werkcollege

Op het hoorcollege wordt de theoretische kennis van ringen en lichamen onderwezen. Deze kennis wordt op het werkcollege toegepast in het oplossen van problemen.

Verdeling leeractiviteiten

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

• Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor de student staat ingeschreven.
• Naast de algemene eis dat de student actief participeert in het onderwijs, worden de aanvullende eisen per onderdeel in de studiewijzer omschreven. Hier staat ook omschreven voor welke onderdelen van het onderdeel een aanwezigheidsplicht geldt.
• Als een student door persoonlijke omstandigheden niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het programma, dient de student dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent en de studieadviseur.
• Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van persoonlijke omstandigheden.
• Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan. Voorwaarden voor voldoende deelname worden van tevoren vastgelegd in de studiewijzer en op Canvas.

Aanvullende eisen voor dit vak:

Belangrijk: aanwezigheid in de werkcolleges voor wiskundestudenten en major- en minorstudenten is verplicht. Als je niet bij minstens 80% van de werkcolleges aanwezig bent geweest dan vervalt je recht op het hertentamen, zoals is vermeld in het OER-B artikel 4.9 lid 2.  Aanwezigheid in de werkcolleges is niet verplicht voor bijvakstudenten

Toetsing

Eindcijfer: Huiswerk (15%) + Deeltoets (25%) + Tentamen (60%). Het huiswerk telt alleen mee indien het gewogen gemiddelde van de overige delen tenminste een 5.5 is. Dit is conform de geldende regelingen in de bachelor wiskunde. Voor de herkansing tellen huiswerk en tussentoets niet mee.

Inzage toetsing

De manier van inzage wordt via de digitale leeromgeving gecommuniceerd.

Opdrachten

Wekelijkse huiswerkopgaven

• Het huiswerk telt voor 15% mee voor het eindcijfer.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: http://student.uva.nl

Weekplanning

Honoursinformatie

Bij dit vak bestaat ook een honoursuitbreiding, ter waarde van 3EC. De honoursuitbreiding beslaat een schriftelijk project en een mondelinge nabespreking met de docent. De inhoud wordt later bekend gemaakt. Neem contact op met de docent als je geïnteresseerd bent in de uitbreiding. Vereiste is dat je minimaal een 8 haalt op de tussentoets.

Aanvullende informatie

Voorkennis voor dit vak is Lineaire algebra en Algebra 1 (groepentheorie)

Contactinformatie

Coördinator

• dr. M. Shen

Docenten

• Shin Komatsu
• H.Y. Yang