Algebra 1: groepentheorie

Algebra 1: Group theory

Studiewijzer 2025/2026

Globale inhoud

In dit vak bestuderen we het algebraïsche concept "groep". We definiëren wat een groep is, geven talloze voorbeelden van groepen en laten zien hoe het idee van een groep orde schept in een veelheid van situaties en een algebraïsche structuur geeft aan het concept "symmetrie".
We gaan dieper in op de structuur van groepen (via ondergroepen en quotiëntgroepen) en vergelijken verschillende groepen aan de hand van morfismen. We bestuderen hoe je van eenvoudige groepen ingewikkelder groepen kunt maken en omgekeerd. Ook bekijken we hoe groepen kunnen "werken" op bepaalde verzamelingen (door middel van symmetrieën). Daarnaast zullen er toepassingen aan de orde komen uit de meetkunde, lineaire algebra en andere takken van de wiskunde.

We volgen ondergenoemd dictaat. Daarnaast zijn er diverse goede boeken over groepentheorie (in het Engels), zoals:

• David S. Dummit, Richard M Foote, "Abstract Algebra", 3rd edition (reguliere editie, of “student edition”), hoofdstukken 1 t/m 4. 
• M.A. Armstrong, "Groups and Symmetry", 1988.

Studiemateriaal

Syllabus

• H. Lenstra en F. Oort, 'Algebra 1'. Beschikbaar in pdf op canvas.

Leerdoelen

• Groepen: de student kent definities, voorbeelden en basiseigenschappen van de volgende concepten: groep, ondergroep, orde, index, directe producten, normaaldelers en quotientgroep, centrum en commutatorondergroep.
• Morfismen en werkingen: de student kent definities, voorbeelden en basiseigenschappen van de volgende abstracte concepten: groepsmorfisme, isomorfisme, kern, beeld, groepswerking, baan, stabilisator, banenverzameling. conjugatieklasse.
• Stellingen: Studenten kunnen de volgende belangrijke stellingen formuleren en toepassen: de Chinese reststelling, de stelling van Cauchy, stelling van Lagrange, de classificatie van eindige abelse groepen, de isomorfiestellingen, de stelling van Cayley, het lemma van Burnside.
• Rekenen: Studenten kunnen rekenen in specifieke groepen zoals de symmetrische groep, de additieve en multiplicatieve restklassengroepen, diëdergroepen, de quaternionengroep en matrixgroepen zoals GLn, SLn, SOn en SUn. Ze kunnen ook werken met morfismen tussen deze groepen en hun kernen en beelden bepalen.
• Symmetrie: Studenten zien het belang van symmetrie in verschillende takken van de wiskunde en hoe groepswerkingen daarbij gebruikt worden. In het bijzonder kennen ze de belangrijkste groepswerkingen van matrixgroepen op lineaire afbeeldingen en het verband met rang, de rij-gereduceerde vorm en de Jordan-normaalvorm.

Onderwijsvormen

• Werkcollege
• Hoorcollege
• Zelfstudie

In de hoorcolleges wordt de stof op interactieve wijze uitgelegd. In de werkcolleges gaan jullie zelf aan de slag met opgaven over de stof. Een deel van die opgaven wordt ingeleverd en beoordeeld. Aan het begin van ieder werkcollege wordt een korte quiz afgenomen via Canvas die je eindcijfer voor maximaal 5% en alleen positief kan beïnvloeden.
Er is ook een computeropdracht, waarbij jullie elk een eigen groep krijgen om de concepten uit de cursus op toe te passen.

Verdeling leeractiviteiten

Aanwezigheid

Aanwezigheidseisen opleiding (OER-B):

• Van elke student wordt actieve deelname verwacht aan het onderdeel waarvoor de student staat ingeschreven.
• Naast de algemene eis dat de student actief participeert in het onderwijs, worden de aanvullende eisen per onderdeel in de studiewijzer omschreven. Hier staat ook omschreven voor welke onderdelen van het onderdeel een aanwezigheidsplicht geldt.
• Als een student door persoonlijke omstandigheden niet aanwezig kan zijn bij een verplicht onderdeel van het programma, dient de student dit zo snel mogelijk schriftelijk te melden bij de betreffende docent en de studieadviseur.
• Het is niet toegestaan om verplichte onderdelen van een onderdeel te missen als er geen sprake is van persoonlijke omstandigheden.
• Bij kwalitatief of kwantitatief onvoldoende deelname, kan de examinator de student uitsluiten van verdere deelname aan het onderdeel of een gedeelte daarvan. Voorwaarden voor voldoende deelname worden van tevoren vastgelegd in de studiewijzer en op Canvas.

Aanvullende eisen voor dit vak:

Een student mag aan het tentamen (en hertentamen) deelnemen als die heeft deelgenomen aan de tussentoets en tenminste 50% van de huiswerkopgaven heeft ingeleverd.

Toetsing

De weging is  30% tussentoets, 50-55% eindtentamen, 10% huiswerk, 5%  computeropdracht en 0-5% quizzen. 
Dat werkt als volgt: 
- Zij T1 het cijfer van de tussentoets (op 10);
- Zij T2 het cijfer van het tentamen (op 10);
- Zij H het gemiddelde cijfer van het huiswerk (op 10), waarbij de laagste 2 cijfers niet worden meegerekend;
- Zij C het cijfer van de computeropdracht (op 10);
- Zij D de verhouding “aantal deelgenomen quizzes”/“totaal aantal quizzes”, en Q het gemiddelde cijfer (op 10) voor de quizzes; Dan is het eindcijfer E = max { 0.3 T1 + 0.55 T2 + 0.1 H + 0.05 C, 0.3 T1 + (0.55 - 0.05D) T2 + 0.1 H + 0.05 C + 0.05 DQ}.  

Een student slaagt voor het vak als T2 > 5.5 én E > 5.5.

De toetsstof voor de tussentoets, het tentamen en het hertentamen zal ruim van tevoren worden gecommuniceerd via Canvas.

Bij de tussentoets, het tentamen en het hertentamen zijn geen hulpmiddelen toegestaan.

Voor het hertentamen worden de tussentoets en het huiswerk niet meegerekend. Je volledige cijfer wordt dus bepaald door dat van het hertentamen.

Inzage toetsing

Toetsinzagemomenten zullen via Canvas worden aangekondigd. Als je op die momenten niet kunt, stuur dan een email naar de docent om alternatieven te bespreken.

Opdrachten

Wekelijkse huiswerkopdrachten:

• Samenwerken is toegestaan (zie Canvas voor details).
• Tellen mee voor 10% van het eindcijfer.
• Worden nagekeken door de studentassistenten.

Wekelijkse quiz tijdens het werkcollege:

• Individueel.
• Tellen mee voor max. 5% van het eindcijfer.
• Worden direct en automatisch op Canvas nagekeken.

Computeropdracht mijn favoriete groep:

• Individueel.
• Telt mee voor 5% van het eindcijfer.
• Wordt direct en automatisch op Canvas nagekeken.

Fraude en plagiaat

Dit vak hanteert de algemene 'Fraude- en plagiaatregeling' van de UvA. Hier wordt nauwkeurig op gecontroleerd. Bij verdenking van fraude of plagiaat wordt de examencommissie van de opleiding ingeschakeld. Zie de Fraude- en plagiaatregeling van de UvA: http://student.uva.nl

Weekplanning

Honoursinformatie

Op dit vak is een honoursuitbreiding van 3 EC mogelijk. Om aan de honoursuitbreiding deel te nemen moet je 8 of meer halen op de tussentoets. Na de tussentoets wordt er meer informatie gegeven over de honoursuitbreiding en kan je je hiervoor inschrijven.

Aanvullende informatie

Dit vak heeft een Canvassite. Hier vind je belangrijke aanvullende informatie, zoals de gedragsregels en de groepsindeling van de werkcolleges, en een up-to-date overzicht van welke stof/opgaven er op de hoor-/werkcolleges aan bod zijn gekomen. Bekijk de Canvassite dus met regelmaat!

Contactinformatie

Coördinator

• dr. V.Z. Karemaker

Raf Bocklandt